ラグランジュの運動方程式の共変性[解析力学Part4]

いちばん最初に学習したであろうニュートンの運動方程式ではなくラグランジュの運動方程式を用いるメリットとして、ラグランジュの運動方程式が座標変換に強いことが挙げられます。それはラグランジュの運動方程式がが共変性を示すためです。

本記事ではその共変性とは何を表すか、座標変換に強いどういうことかについて解説していきます。

共変性とは

座標変換を行っても方程式の形がかわらないことを共変性とよびます。

例えば、前の記事から２次元極座標におけるラグランジュの運動方程式は以下のように書けますが、\(\)

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}}\right)-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}=0$$

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{y}}\right)-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}=0$$

極座標\((r,\theta)\)を用いても

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{r}}\right)-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial r}=0$$

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\theta}}\right)-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \theta}=0$$

と書くことができるのです。

この性質からわかるように、ラグランジュの運動方程式は任意の座標\(q\)について

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}}\right)-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q}=0$$

が成り立ち、この座標のことを一般化座標とよびます。

ラグランジュの運動方程式の共変性の証明

\(N\)個の座標\(q_i\)(\(i=1,2,\cdots,N\))で記述される系で座標を座標変換し、別の\(N\)個の座標\(Q_i\)(\(i=1,2,\cdots,N\))で記述した場合にラグランジュの運動方程式が共変性を持つことを証明してみましょう。

証明

座標\(Q_i\)は、元の座標\(q_i\)(\(i=1,2,\cdots,N\))を用いて以下のように表されます。

$$Q_i=Q_i(q_1,q_2,\cdots,t)$$

ここで\(\dot{Q_i}=\frac{d}{dt}Q_i\)であり、合成関数の偏微分から

$$\begin{eqnarray}\dot{Q_i} &=& \displaystyle \sum_{i} \frac{\partial Q_i}{\partial q_j}\frac{dq_j}{dt}+\frac{\partial Q_i}{\partial t}\frac{dt}{dt} \\ &=& \displaystyle \sum_{i} \frac{\partial Q_i}{\partial q_j}\dot{q_j}+\frac{\partial Q_i}{\partial t} \end{eqnarray}$$

この式の両辺を微分すると、

$$\frac{\partial \dot{Q_i}}{\partial \dot{q_i}}=\frac{\partial Q_i}{\partial q_i}$$

ラグラシアン\(\mathcal{L}\)について、

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i}=\displaystyle \sum_{j=1}^{N} \left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial Q_j}\frac{\partial Q_j}{\partial q_i}+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{Q_j}}\frac{\partial \dot{Q_j}}{\partial q_i}\right)\cdots①$$

$$\begin{eqnarray}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q_i}} &=& \displaystyle \sum_{j=1}^{N} \left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial Q_j}\frac{\partial Q_j}{\partial \dot{q_i}}+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{Q_j}}\frac{\partial \dot{Q_j}}{\partial \dot{q_i}}\right) \\ &=& \displaystyle \sum_{j=1}^{N} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{Q_j}}\frac{\partial \dot{Q_j}}{\partial \dot{q_i}} \end{eqnarray}\cdots②$$

以上の式から、ラグラシアンの運動方程式

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i}-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q_i}}\right)=0\cdots③$$

に、式①,②を代入すると

$$\displaystyle \sum_{j=1}^{N}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial Q_j}\frac{\partial Q_j}{\partial q_i}+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{Q_j}}\frac{\partial \dot{Q_j}}{\partial q_i}+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{Q_j}}\frac{\partial \dot{Q_j}}{\partial q_i}+\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{Q_j}}\frac{\partial \dot{Q_j}}{\partial \dot{q_i}}\right)\right)=0$$

左辺の第3項を部分積分して整理すると、

$$\displaystyle \sum_{j=1}^{N}\left( \left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial Q_i}-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{Q_i}}\right)\right) \frac{\partial Q_j}{\partial q_i} + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{Q_j}} \left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i}-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q_i}}\right)\right) \right)=0$$

\(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i}-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q_i}}\right)=0\)より、上の式が恒等的に成り立つのは、

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial Q_i}-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{Q_i}}\right)=0\cdots④$$

のときである。

ゆえに、式③と④は同値でありラグランジュの運動方程は共変性を示すことが証明できました。

このようにラグランジュの運動方程式は、運動方程式のように式の形を大きく変えることなく、任意の座標で同じ形を保って使えることが強みなのです。