前回の直接積分形および変数分離形に続いて本記事では同次形の微分方程式の解き方について説明していきます。
同次形
\(\)同次形とは以下の微分方程式のことを指します。$$\frac{dy}{dx}=f\left(\frac{y}{x}\right) ⑴$$
つまり、導関数\(y’\)が\(\frac{y}{x}\)の関数で表せる微分方程式が同次形になるのです。
同次方程式は関数を新しく置換することで変数分離形に変形し解くことができます。
実際に解法を見てみましょう。
解法
\(y=xu\)と置くことで同次形を変数分離形に変形することができる。
\(y=xu\)より、\(\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}\)であるから⑴式は
$$u+x\frac{du}{dx}=f(u)$$
変形することで$$\frac{du}{dx}=\frac{f(u)-u}{x}$$となって変数分離形となった。
ゆえに同次形の一般解は、\(f(u)-u\neq 0\)のとき
$$\int\frac{du}{f(u)-u}=\int\frac{dx}{x}+C$$となる。
練習問題
以下の微分方程式を解け
$$⑴x\frac{dy}{dx}=y+\sqrt{x^2+y^2}$$
$$⑵(x^2+2xy)\frac{dy}{dx}=y^2$$
解答
⑴与えられた方程式の両辺をxで割ると、
$$\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}+\sqrt{1+\left(\frac{y}{x}\right)^2}$$
\(u=\frac{y}{x}\)とおくと、\(\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}\)であるから
$$u+x\frac{du}{dx}=u+\sqrt{1+u^2}$$
整理すると、
$$\frac{du}{dx}=\frac{\sqrt{1+u^2}}{x}$$
これは変数分離形であるから、
$$\int\frac{1}{\sqrt{1+u^2}}du=log|x|+C_1$$
積分公式\(\int\frac{1}{\sqrt{x^2+a}}=log|x+\sqrt{x^2+a}|(a\neq0)\)を利用して、
$$log|u+\sqrt{u^2+1}|=log|x|+C_1$$
ゆえに整理すると、
$$u+\sqrt{u^2+1}=Cx(C=e^{C_1})$$
よって求める解は、$$y+\sqrt{x^2+y^2}=Cx^2$$である。
⑵与えられた方程式を両辺をxで割ると、
$$\left(1+\frac{2y}{x}\right)\frac{dy}{dx}=\left(\frac{y}{x}\right)^2$$
\(y=ux\)とし方程式をuとxの方程式に書き換えると、
$$(1+2u)\left(u+x\frac{du}{dx}\right)=u^2$$
整理して、
$$x(1+2u)\frac{du}{dx}=-(u^2+u)$$
$$\frac{1+2u}{u^2+u}\frac{du}{dx}=-\frac{1}{x}$$
これは変数分離形であるから両辺を積分すると、
$$\int\frac{1+2u}{u^2+u}du=\int-\frac{1}{x}dx$$
\(\frac{1+2u}{u^2+u}=\frac{1}{u+1}+\frac{1}{u}\)であるから、
$$\int\left(\frac{1}{u+1}+\frac{1}{u}\right)du=-log|x|+C_1$$
ゆえに、
$$u(u+1)=\frac{C}{x}(logC=C_1)$$
よって求める解は、
$$y(y+x)=Cx$$である。
このように１階の常微分方程式では複雑な形の方程式を解ける形の微分方程式に変形し解くことが多いということを覚えておくといいでしょう。
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