本記事では１階線形微分方程式の解き方である定数変化法についてその方法と意味について解説していきます。
\(\)１階線形微分方程式 \(\dot{y}+P(x)y=Q(x)\)
１階線形微分方程式とは\(\dot{y}+P(x)y=Q(x)\)で表される微分方程式です。
1階とは、方程式中にyの1階微分である\(\dot{y}\)までが含まれていることを意味しています。
もし式中にyの２階微分\(\ddot{y}\)までが含まれる場合は2階微分方程式となるのです。
加えて線形とは左辺が\(\dot{y}とy\)の線形結合で表されているということを意味しています。
では方程式の意味を理解したところでこの方程式の解き方について考えていきましょう。
この方程式には基礎的な方法として２つの解法が存在します。
解法１ 特殊解を見つける
1階線形微分方程式の1つの解(特殊解)\(\alpha(x)\)が分かっている場合、
$$ \begin{eqnarray} \dot{y}+P(x)y &=& Q(x) \\ \dot{\alpha(x)}+P(x)\alpha(x) &=& Q(x) \end{eqnarray} $$
前述の方程式の上式から下の式を引くことで以下の方程式が得られる。
$$ \dot{y}-\dot{\alpha(x)}+P(x)(y-\alpha(x))=0 $$
\(Y(x)=y(x)-\alpha(x)\)とおくと、
$$ \dot{Y}+P(x)Y=0 $$
がなりたち、この式は同次方程式であるから同次方程式の解法を利用して解を導きだすと一般解は以下のようになる。
$$ y=\alpha(x)+Cexp\left(-\int P(x)dx\right) $$
では特殊解が見つからない場合はそのように解けばいいのでしょうか、
その場合を想定した解法が２つ目の解法である定数変化法です。
解法2 定数変化法
この解法は３つの段階に分かれている。1階線形微分方程\(\dot{y}+P(x)y=Q(x)\)のこの解法による解き方を以下に示しました。
Step1. 同次線形微分方程式\(\dot{y}+P(x)y=0\)を解き、斉次解\(y=Cexp\left(-\int P(x)dx\right)\)を得る。
Step2. 斉次解の積分定数\(C\)を\(x\)の関数\(C(x)\)とみて、１階線形微分方程式に代入する。これにより1階線形微分方程式を満たす関数\(C(x)\)は、
$$C(x)=\int Q(x)exp\left(\int P(x)dx\right)dx$$と求まる。これにより、１階線形微分方程式の特殊解は
$$y=exp\left(-\int P(x)dx\right)\left(\int Q(x)exp\left(\int P(x)dx\right)dx\right)$$
と求まる。
Step3. 一般解=斉次解+特殊解であることを利用して1階線形微分方程式の一般解を求めと、
$$exp\left(-\int P(x)dx\right)\left(\int Q(x)exp\left(\int P(x)dx\right)dx+C\right)$$
となる。
以上のようにして一般解を求めているのです。いままでのどの形の微分方程式よりも解法が複雑だったと思われるので、理解を深めるために具体的にどのようになるか見てみましょう。
例題)\(\dot{y}+y=x\)の解を求めよ
解答
同次線形微分方程式\(\dot{y}+y=0\)を解くと、斉次解\(y=Ce^{-x}\)が得られる。
ここでCをxの関数C(x)とみて\(\dot{y}+y=x\)に代入すると、
$$ C'(x)e^{-x}-C(x)e^{-x}+C(x)e^{-x}=x $$
ゆえに、\(C'(x)=xe^{-x}\)となるから
積分して\(C(x)=(x-1)e^{-x}+D\)(Dは積分定数)
特殊解は\(y=C(x)e^{-x}\)であるから、特殊解の１例として\(y=x-1\)が得られる。
以上から求める解は$$y=x-1+Ce^{-x}$$
1段階目として同次線形方程式を解き斉次解を求める。
２段階目では１階線形微分方程式の解が同次線形微分方程式の解に似ていると推測し、特殊解を\(y=C(x)e^{-x}\)と仮定する。これを１階線形微分方程式に代入しC(x)を求め特殊解を求める。
最後に斉次解および特殊解から１階線形微分方程式の一般解を求める。
これが定数変化法の解き方の考え方です。
以上の内容ができたところで演習問題を解いてみましょう。
練習問題
$$(1)y’+y=３e^x$$
$$(2)y’+ycosx=sinxcosx$$
解答
⑴問題は簡潔な微分方程式であることから目算から特殊解が\(y=\frac{3}{2}e^x\)であると分かる。
同次線形微分方程式\(y’+y=0\)の解は\(y=Ce^{-x}\)であるから求める一般解は、
$$y=Ce^{-x}+\frac{3}{2}e^x$$ である。
⑵同次線形微分方程式\(y’+ycosx=0\)を解くと、斉次解は\(y=Ce^{-sinx}\)である。
ゆえに定数変化法より特殊解をy=C(x)e^{-sinx}と仮定し１階線形微分方程式に代入すると、
$$C'(x)e^{-sinx}-C(x)e^{-sinx}cosx+C(x)e^{-sinx}cosx=sinxcosx$$
よって\(C'(x)=sinxcosxe^{sinx}\)であるから、\(t=sinx\)とおくと
$$C(x)=\int sinxcosxe^{sinx}dx=\int te^tdt$$
$$C(x)=(t-1)e^t=(sinx-1)e^{sinx}$$
ゆえに特殊解は\(C(x)e^{sinx}=sinx-1\)であるから、
一般解は、$$y=sinx-1+Ce^{-sinx}$$
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