１階常微分方程式とは、未知関数の導関数の最高階数が１である常微分方程式のことで常微分方程式で最も簡単に書ける微分方程式です。
つまり、１階常微分方程式は\(x,y,\dot{y}\)で表された方程式のことを指すのです。
本記事ではこの１階線形微分方程式の中でも最も基礎的である直接積分形および変数分離形の解き方について解説していきます。
直接積分形
直接積分形は以下のような１階微分方程式を表します。
$$\frac{dy}{dx}=f(x)$$
解法
両辺をxで積分することで関数\(f(x)\)が得られます。
$$y=\int f(x)dx+C$$
直接積分形は両辺を積分するだけであるので困難ではないでしょう。
(例)
\(\frac{dy}{dx}=x^2+3x+4\)のとき、
$$y=\int (x^2+3x+4)dx+C\\=\frac{1}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2+4x+C$$
となり、求める関数の解が\(y=\frac{1}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2+4x+C\)と求められます。
変数分離形
変数分離形は以下のような1階微分方程式です。
$$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$$
解法
両辺を\(g(y)\)で割ると、\(\frac{1}{g(y)}\frac{dy}{dx}=f(x)\)となる。
変形すると、$$\frac{1}{g(y)}dy=f(x)dx$$
両辺を積分することで、
$$\int\frac{1}{g(y)}dy=\int f(x)dx+C$$
練習問題
以下の微分方程式を解け
$$\displaystyle(1)\frac{dy}{dx}=y+1$$
$$\displaystyle(2)\frac{dy}{dx}=y^2-1$$
解答
⑴問題の微分方程式は以下のように変形できる。
$$\frac{1}{y+1}\frac{dy}{dx}=1$$
ゆえに両辺を積分すると、
$$\int\frac{1}{y+1}dy=\int dx$$ であるから求める関数は、\(In(y+1)=x+D\)である。変形し て、$$y=Ce^x-1$$ が求める答えである。ただし、\(C=e^D\)である。
⑵問題の微分方程式は\(y^2-1\neq1\)の時、以下のように変形できる。
$$\frac{1}{y^2-1}\frac{dy}{dx}=1$$
ゆえに両辺を積分すると、$$\int\frac{1}{y^2-1}dy=\int dx$$
ここで\(\frac{1}{y^2-1}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{y-1}-\frac{1}{y+1}\right)\)であるから、$$\frac{1}{2}In \left|\frac{y-1}{y+1}\right|=x+C_1$$
$$\frac{y-1}{y+1}=Ce^{2x} (C=\pm e^2C_1)$$
ゆえに求める関数yは、$$y=\frac{1+Ce^{2x}}{1-Ce^{2x}}$$
ここで、C=0にときにy=1は得られるためy=1は一般解であり、y=-1を満たすCは存在しないがy=-1は問題の微分方程式を満たすためy=-1は特殊解である。
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