ラグランジュの微分方程式の解き方について解説

本記事ではクレローの微分方程式を一般化した形であるラグランジュの微分方程式(ダランベールの微分方程式)についてその解法を解説していく。

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ラグランジュの微分方程式

ラグランジュの微分方程式は以下の形の微分方程式のことを指す。

$$y=xf(y’)+g(y’)\cdots①$$

ラグランジュの微分方程式はクレローの微分方程式$y=xy’+g(y’)$のy’が任意の関数$f(y’)$に一般化されたものであるとわかるだろう。

ではこの微分方程式の解き方についてみていこう。

クレローの微分方程式と同様に、$y’=p$とし①の両辺を$x$で微分すると、

$$p=f(p)+xf'(p)\frac{dp}{dx}+g'(p)\frac{dp}{dx}$$

変形して整理すると、

$$(p-f(p))\frac{dx}{dp}-xf'(p)=g'(p)$$

$p-f(p)\neq0$のとき、$p-f(p)$で両辺を割ると、

$$\frac{dx}{dp}-\frac{f'(p)}{p-f(p)}x=\frac{g'(p)}{p-f(p)}\cdots②$$

②は１階線形微分方程式であるから、１階微分方程式の解法を利用して$x$に関して一般解を求めると、

$$x=exp\left(\int \frac{f'(p)}{p-f(p)}dp\right)\left(\int \frac{g'(p)}{p-f(p)}exp\left(-\frac{f'(p)}{p-f(p)}dp\right)dp+C\right)\cdots③$$

①と③から$p$を消去することで一般解が得られる。

$p=p_0$のとき、$p-f(p)=0$が成り立つとすると、$p_0$は定数であるから

$$y=f(p_0)x+g(p_0)$$

が特殊解または特異解として得ることができる。

結果からラグランジュの微分方程式は両辺を微分することでいままで学習した微分方程式である１階線形微分方程式に変形して解けることがわかっただろう。

では練習問題に取り組んでみよう。

次の微分方程式を解け

$$y=xp^2+p^2$$

$y’=p$とし問題文の両辺を$x$で積分すると、

$$p=p^2+2xpp’+2pp’$$

整理して、

$$p(1-p)=2p(x+1)p’\cdots④$$

$p\neq0$のとき④の両辺を$p$で割り、整理すると、

$$\frac{1}{x+1}=\frac{2}{1-p}p’$$

これは変数分離形であるから、これを解くと

$$(p-1)\sqrt{x+1}=C$$

ゆえに、

$$p=\frac{C}{\sqrt{x+1}}+1$$

これを問題文の式$y=xp^2+p^2$に代入して整理すると一般解

$$y=(C+\sqrt{x+1})^2$$

が得られる。