本記事では状態方程式の演習問題を掲載しました。定期テスト対策や院試対策としてぜひ活用してください。
演習問題
\(\)問題1-1
体積\(1.0dm^3\)の容器に300K,1.0molの理想気体が入っているときの圧力[Pa]を求めよ。
気体定数は\(8.31J K^{-1} mol^{-1}\)である。
解答
理想気体の状態方程式は\(PV=nRT\)であるから、
$$\begin{eqnarray}P &=& \frac{nRT}{V} \\ &=& \frac{1.0mol\times8.31JK^{-1}mol^{-1}\times300K}{1.0 dm^3}\left(\frac{10dm}{m}\right)^3 \\ &=& 2.5\times10^6Pa \end{eqnarray}$$
問題1-2
\(p,V,T\)はそれぞれ圧力、体積、温度を表し、圧力係数\(\alpha\),膨張率\(\beta\),等温圧縮率\(\kappa_T\)はそれぞれ以下のように表される。
$$\alpha=\frac{1}{p}\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V,\beta=\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p,\kappa_T=-\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_T$$
⑴理想気体の圧力係数\(\alpha\),膨張率\(\beta\),等温圧縮率\(\kappa_T\)を求めよ。
⑵理想気体の状態方程式を実在気体に近づくように修正した状態方程式として、van der Waalsの状態方程式というものが存在し、以下のように表される。(a.bは定数)
$$\left(p+a\frac{n^2}{V^2}\right)(V-nb)=nRT$$
このときの気体の膨張率と等温圧縮率を求めよ。
解答
⑴理想気体の状態方程式は\(PV=nRT\)で表されるから、
$$\begin{eqnarray}\alpha &=& \frac{1}{p}\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V=\frac{1}{p}\left(\frac{\partial (nRT/V)}{\partial T}\right)_V \\ &=& \frac{nR}{PV}=\frac{1}{T}\end{eqnarray}$$
$$\begin{eqnarray}\beta &=& \frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p=\frac{1}{V}\frac{\partial nRT/p}{\partial T} \\ &=& \frac{nR}{PV}=\frac{1}{T}\end{eqnarray}$$
$$\begin{eqnarray}\kappa_T&=&-\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_T=-\frac{1}{V}\left(\frac{\partial nRT/p}{\partial p}\right)_T \\ &=& \frac{nRT}{p^2V} = \frac{1}{p}\end{eqnarray}$$
⑵\(p\)を一定として与えられた状態方程式を\(T\)で微分すると、
$$\left\{-2a\frac{n^2}{V^3}(V-nb)+(p+a\frac{n^2}{V^2}ab)\right\}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p=nR$$
整理すると、
$$\left\{p-a\left(\frac{n}{V}\right)^2+2ab\left(\frac{n}{V}\right)^3\right\}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p=nR$$
ゆえに、
$$\begin{eqnarray}\beta &=& \frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p \\ &=& \frac{nR}{V}\left\{p-a\left(\frac{n}{V}\right)^2+2ab\left(\frac{n}{V}\right)^3\right\}^{-1}\end{eqnarray}$$
また\(T\)一定として\(p\)で微分すると、
$$\left\{1-2a\frac{n^2}{V^3}\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_T\right\}(V-nb)+\left(p+a\frac{n^2}{V^2}\right)\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_T=0$$
よって、
$$V-nb+\left\{p-a\left(\frac{n}{V}\right)^2+2ab\left(\frac{n}{V}\right)^3\right\}\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_T=0$$
であるから、
$$\begin{eqnarray}\kappa_T &=&-\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_T \\ &=& \frac{V-nb}{V}\left\{p-a\left(\frac{n}{V}\right)^2+2ab\left(\frac{n}{V}\right)^3\right\}^{-1}\end{eqnarray}$$
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