理想気体の断熱変化とポアソンの式[熱力学演習Part2]

熱力学第一法則より系に加えらた熱量を\(d’Q\)、系がされた仕事を\(d’W\)とすると

$$d’Q+d’W=dU$$

断熱変化であるから\(d’Q=0\)であり、準静的過程であるから\(d’W=-PdV\)より

$$dU+PdV=0\cdots①$$

内部エネルギー\(U=U(T,V)\)の全微分は

$$dU=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_VdT+\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_TdV$$

式①にこれを代入して

$$\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_VdT+\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_TdV+PdV=0$$

$$\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_VdT+\left\{\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T+P\right\}dV=0\cdots②$$

ジュールの法則から理想気体において内部エネルギーは\(T\)だけの関数であるから、

$$\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T=0\cdots③$$

また定積熱容量\(C_V\)は、

$$C_V=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V\cdots④$$

式③,④を式②に代入すると、

$$C_VdT+PdV=0\cdots⑤$$

理想気体の状態方程式は\(PV=nRT\)であるから、

$$PdV+VdP=nRdT\cdots⑥$$

ここでC_P-C_V=nRかつ式⑤、⑥から\(dT\)を消去して整理すると、

$$PdV+VdP=(C_P-C_V)\left(-\frac{P}{C_V}dV\right)$$

$$(1+\frac{C_P-C_V}{C_V})PdV+VdP=0$$

ゆえに、

$$\frac{C_P}{C_V}\frac{dV}{V}+\frac{dP}{P}=0$$

この微分方程式を解くと、\(\gamma=\frac{C_P}{C_V}\)から

$$PV^{\gamma}=const\cdots⑦$$

が成り立つ。

また理想気体の状態方程式から\(PV/T=const\cdots⑧)より、式⑦を式⑧で割ると

$$TV^{\gamma-1}=const\cdots⑨$$

が得られる。

式⑦を\(\frac{P^\gamma V^\gamma}{T^\gamma}=const\)で割ると、

$$\frac{T^\gamma}{P^{\gamma-1}}=const$$

ゆえに、

$$\frac{T}{P^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}}=const\cdots⑩$$

が成り立つ。