Eulerの方程式とは
\(\)汎関数\(F[y]\)の中で以下のように表せる汎関数の停留点関数がEulerの方程式であり、今回はその導出方法について解説します。
$$F[y]=\int_a^b \mathcal{L}(y(x),y'(x),x)dx$$
この導出方法を用いて、ラグランジュの運動方程式も導くことができるのでぜひ理解してみましょう。
Eulerの方程式の導出方法
前の記事の最短距離問題と同様の解き方で導くことができます。
\(F[y]\)について、\(y\)から\(y+\epsilon \eta\)に変えた場合を考えます。
このとき同様に\(y’\)も\(y’+\epsilon {\eta}’\)に変化するから、
$$F[y+\epsilon \eta]=\int_a^b \mathcal{L}(y(x)+\epsilon \eta(x),y'(x)+\epsilon {\eta}'(x),x)dx$$
\(\epsilon\)が微小であるから、\(\mathcal{L}(y(x)+\epsilon \eta(x),y'(x)+\epsilon {\eta}'(x),x)\)をテイラー展開すると、
$$\begin{eqnarray} \mathcal{L}(y+\epsilon \eta,y’+\epsilon {\eta}’,x)= &\mathcal{L}&(y,y’,x)+\epsilon \left\{\eta\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}+{\eta}’\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y’}\right\} \\ &+& {\epsilon}^2\left\{{\eta}^2\frac{{\partial}^2 \mathcal{L}}{\partial y^2}+2\eta{\eta}’\frac{{\partial}^2 \mathcal{L}}{\partial y \partial y’}+{{\eta}’}^2\frac{{\partial}^2 \mathcal{L}}{\partial {y’}^2}\right\}+\cdots \end{eqnarray}$$
ゆえに、
$$\begin{eqnarray} F[y+\epsilon \eta]= &\int_a^b& \mathcal{L}(y,y’,x)dx+\epsilon \int_a^b \left\{\eta\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}+{\eta}’\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y’}\right\}dx \\ &+& {\epsilon}^2 \int_a^b \left\{{\eta}^2\frac{{\partial}^2 \mathcal{L}}{\partial y^2}+2\eta{\eta}’\frac{{\partial}^2 \mathcal{L}}{\partial y \partial y’}+{{\eta}’}^2\frac{{\partial}^2 \mathcal{L}}{\partial {y’}^2}\right\}dx+\cdots \end{eqnarray}$$
汎関数\(F[y]\)が停留点関数をとるとき、第一変分\(F^{(1)}[y,\eta]=0\)が成り立つから、
$$\int_a^b \left\{\eta\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}+{\eta}’\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y’}\right\}dx=0\cdots①$$
ここで式①の２項目について部分積分を行います。
$$\int_a^b {\eta}’\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y’}dx=\left[\eta (x)\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y’}\right]_a^b-\int_a^b \eta (x)\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y’}\right)dx$$
ここで端点\(x-a,x=b\)において端点は動かないため、\(\eta(x)=0\)が成り立つ。
ゆえに、
$$\left[\eta (x)\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y’}\right]_a^b=0$$
上２つの式を用いて式①を整理すると、
$$\int_a^b \left[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}-\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y’}\right)\right]\eta (x)dx=0$$
これが任意の関数\(\eta (x)\)について成り立つから、求める停留点関数は、
$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}-\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y’}\right)=0$$
となり、これをオイラーの方程式(Euler’s equation)と呼びます。
まとめると、
$$F[y]=\int_a^b \mathcal{L}(y(x),y'(x),x)dx$$
の停留点関数は、
$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}-\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y’}\right)=0$$
であり、これをオイラーの方程式とよぶ。
となります。
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